2 Ondes
Exercices
En classe, nous travaillerons sur les exercices des diapositives suivantes.
2.1 Résumé des définitons
- Onde
- Perturbation d’un milieu qui se propage dans ce milieu.
- Équation d’onde
- Équation différentielle d’ordre deux qui décrit une onde se propageant dans un milieu. La variable dépendante dans cette équation est la variable qui décrit l’évolution temporelle et spatiale de la perturbation. \[\begin{equation} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \tag{2.1} \end{equation}\] où \(y\) est la variable qui décrit la perturbation, \(x\) est la position dans l’espace, \(t\) est le temps et \(v\) est la vitesse de propagation de l’onde.
- Fonction d’onde
- Solution de l’équation d’onde. Toute fonction d’onde peut être représentée par une fonction de la forme \[y(x, t) = f(x \pm vt).\]
- Onde sinusoïdale progressive
- Solution de l’équation d’onde qui a la forme d’une fonction sinusoïdale : \[\begin{equation} y(x, t) = y_m \sin(kx \pm \omega t + \phi). \tag{2.2} \end{equation}\]
- Amplitude
- Distance maximale entre la valeur d’équilibre et la valeur maximale dans une onde. Elle est représentée par \(y_m\) dans l’équation (2.2).
- Phase
- Argument de la fonction sinusoïdale qui décrit une onde sinusoïdale progressive, i.e. : \(kx \pm \omega t + \phi\) dans l’équation (2.2).
- Constante de phase
- Constante dont la valeur est fixée par les conditions initiales de l’onde. Elle est représentée par \(\phi\) dans l’équation (2.2).
- Fréquence angulaire
- Nombre de radians par lequel la phase d’une onde sinusoïdale progressive augmente chaque unité de temps. Elle est représentée par \(\omega\) dans l’équation (2.2).
- Fréquence
- Nombre d’oscillations complètes par unité de temps. La fréquence \(f\) est reliée à la fréquence angulaire par \[f = \frac{\omega}{2\pi}\] puisqu’une oscillation correspond à une variation de phase de \(2\pi\) radians.
- Période
- Durée d’une oscillation complète. La période, \(T\), est l’inverse de la fréquence donc \[T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}.\]
- Nombre d’onde
- Nombre de radians par lequel la phase d’une onde sinusoïdale progressive change à chaque unité de temps. Elle est représentée par \(k\) dans l’équation (2.2).
- Longueur d’onde
- Distance requise pour que l’onde fasse une oscillation complète. La longueur d’onde, \(\lambda\), est reliée au nombre d’onde par la relation \[\lambda = \frac{2\pi}{k}.\]
- Vitesse de propagation
- Vitesse à laquelle l’onde avance dans le milieu dans lequel elle se propage. Cette vitesse est reliée au nombre d’onde et à la fréquence angulaire : \[v = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T}\]
- Réflexion dure
- Type de réflexion qu’une onde subit lorsqu’elle arrive d’un milieu où elle a une grande vitesse de propagation à l’interface avec un milieu où sa vitesse de propagation est plus petite. L’onde subit un changement de phase. Dans le cas d’une onde sur une corde, l’onde réfléchie est donc renversée par rapport à l’onde incidente.
- Réflexion molle
- Type de réflexion qu’une onde subit lorsqu’elle arrive d’un milieu où elle a une faible vitesse de propagation à l’interface avec un milieu où sa vitesse de propagation est plus grande. L’onde ne subit pas de changement de phase. Dans le cas d’une onde sur une corde, l’onde réfléchie est droite par rapport à l’onde incidente.
- Superposition
- Deux ondes de même nature qui se propagent dans le même milieu au même moment vont se superposer, c’est-à-dire que la perturbation totale du milieu sera la somme des perturbations individuelles : \[y(x, t) = y_1(x, t) + y_2(x, t).\]
- Interférence
- Deux ondes de même nature qui se propagent dans le même milieu au même moment vont interférer, c’est-à-dire que l’onde résultante pourra avoir une amplitude plus grande (interférence constructive) ou plus petite (interférence destructive) que les ondes individuelles.
- Onde stationnaire
- La superposition de deux ondes progressives ayant la même fréquence et la même vitesse de propagation, mais qui se propagent dans des directions opposées peut résulter en une onde dont la vitesse de propagation est nulle, une onde stationnaire. Une telle onde possède des noœuds, qui ont une amplitude nulle, et des ventres qui ont une amplitude maximale. Une onde stationnaire résultant de la somme de deux ondes sinusoïdale de même amplitude est décrite par \[y(x, t) = 2y_m \sin(kx)\cos(\omega t)\]
2.2 Superposition d’ondes
\(y_1(x, t) =\) \(\sin(\) \(x +\) \(t +\) \()\)
\(y_{m1}\)
\(k_1\)
\(\omega_1\)
\(\phi_1\)
\(y_2(x, t) =\) \(\sin(\) \(x +\) \(t +\) \()\)
\(y_{m2}\)
\(k_2\)
\(\omega_2\)
\(\phi_2\)