2012-11-05 ~ présentation orale ~ physique ~ expansion.pdf
Imaginons l’Univers en expansion comme un pain aux raisins qui gonfle au four. Si un atome se comporte comme deux raisins (un qui représente le noyau, l’autre les électrons), alors son volume augmentera avec celui de l’Univers. Par contre, si un atome se comporte comme un seul raisin (après tout, un atome, c’est tout petit), alors l’expansion de l’Univers n’aura pas d’impact significatif sur son volume.
Cette présentation, donnée au Club maths et sciences du Collège militaire royal de Saint-Jean, explore la question avec des notions simples de mécanique et la loi de Coulomb. L’approche est celle présentée dans Price & Romano, 20121.
2012-01-18 ~ présentation orale ~ physique ~ white_dwarf.pdf
Une étoile naine blanche est un cadavre stellaire : c’est ce qui reste après qu’une étoile de la séquence principale (par exemple, notre Soleil) ait épuisé tout son carburant nucléaire. Dans ce type d’étoile, c’est un phénomène purement quantique, la dégénérescence électronique, qui crée une force qui s’oppose à l’attraction gravitationnelle et qui empêche l’étoile de s’effondrer sur elle-même.
Cette présentation, donnée au Collège militaire royal de Saint-Jean à l’hiver 2012, montre les éléments de base de la mécanique quantique et de la physique statistique nécessaire au développement d’une théorie qui prédit (avec une justesse étonnante) la taille des étoiles naines blanches.
2011-10-15 ~ présentation orale ~ maths ~ medp_focs_talk.pdf
Présentation donnée dans le cadre du 52nd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science à Palm Springs en 2011. La présentation décrit sommairement un article publié dans les proceedings de la conférence. Le résultat présenté est un algorithme d’approximation pour trouver une solution au problème de maximisation des chemins disjoints dans un graphe plan. L’algorithme trouve, en un temps polynomial, une solution au problème qui est de l’ordre de la solution optimale en permettant une congestion de 2 sur les arêtes du graphe. Travail conjoint avec Bruce Shepherd.
2011-10-15 ~ compte-rendu de conférence ~ maths ~ Seguin-Charbonneau_Shepherd-2011-MEDP-in-Planar-Graphs.pdf
We study the maximum edge-disjoint path problem (MEDP) in planar graphs. We are given a set of terminal pairs and wish to find a maximum routable subset of demands. That is, a subset of demands that can be connected by edge-disjoint paths. It is well-known that there is an integrality gap of order square root of the number of nodes for this problem even on a grid-like graph, and hence in planar graphs (Garg et al.). In contrast, Chekuri et al. show that for planar graphs, if LP is the optimal solution to the natural linear programming relaxation for MEDP, then there is a subset of size OPT over the logarithm of the number of nodes which is routable with congestion 2. Subsequently they showed that it is possible to get within a constant factor of the optimal solution with congestion 4 instead of 2. We strengthen this latter result to show that a constant approximation is possible also with congestion 2 (and this is tight via the integrality gap grid example). We use a basic framework from work by Chekuri et al. At the heart of their approach is a 2-phase algorithm that selects an Okamura-Seymour instance. Each of their phases incurs a factor 2 congestion. It is possible to reduce one of the phases to have congestion 1. In order to achieve an overall congestion 2, however, the two phases must share capacity more carefully. For the Phase 1 problem, we extract a problem called rooted clustering that appears to be an interesting problem class in itself.
2011-04-19 ~ manuel ~ maths ~ Mathematiques_Avancees.pdf
Le cours de Mathématiques avancées, donné au Collège militaire royal de Saint-Jean, est le quatrième cours de mathématiques offert aux étudiants en sciences de la nature. Parmi les sujets présentés, on retrouve l’études des séries de puissance, la résolution d’équations différentielles et le calcul à plusieurs variables.
Ces notes de cours contiennent toute la matière vue au cours d’un trimestre. La théorie est accompagnée de nombreux exemples provenant de la physique, de la biologie et des statistiques.
2009-11-18 ~ présentation orale ~ maths ~ ellipses.pdf
Présentation donnée dans le cadre du Club mathématiques au Collège militaire royal de Saint-Jean en 2009. Définitions de base concernant les ellipses et quelques résultats amusants lorsqu’on change la métrique.
2009-07-24 ~ thèse ~ maths ~ Master_Thesis.pdf
Cette thèse étudie les problèmes de flots sur réseau. Plus particulièrement, nous portons notre attention sur les flots à puits unique et à multiples sources avec des contraintes de degré. Dans le problème de flot indivisible, la demande envoyée par une source doit suivre un chemin unique. Dans le problème de flot d-furqué, chaque sommet peut envoyer du flot à d voisins au plus. Le cas particulier avec d = 1 est appelé flot confluent.
Nous présentons un survol de certains des algorithmes utilisés pour attaquer ces problèmes. Finalement, nous présentons un nouveau résultat qui utilise les flots confluents et un type particulier de regroupement des sommets que nous appelons regroupement enraciné pour obtenir un algorithme d’approximation pour le problème de maximisation des chemins disjoints (en terme d’arêtes). Cet algorithme satisfait une fraction constante de la demande totale avec une congestion d’arête d’au plus 3. Il s’agit donc d’une amélioration de la meilleure borne précédente de 4.
2009-03-25 ~ rapport ~ maths ~ PowerLaws.pdf
La croissance de l’Internet s’est fait de manière désorganisée, sans contrôle central. Pourtant, plusieurs études ont montré une régularité dans sa topologie : la plupart des métriques obéissent à une loi de puissance. Dans cet article, nous présentons un survol des différentes études empiriques et des modèles qui expliquent une telle croissance. (En anglais seulement.)
Travail de session pour le cours Algorithmic Game Theory donné à McGill par Adrian Vetta.
2009-03-24 ~ manuel ~ maths ~ MATH560-march24th.pdf
Quelques notes pour les cours MATH 560 du 24 et 26 mars 2009 donné à McGill. Les notes portent sur les algorithmes d’optimisation nonlinéaire avec contraintes.
2008-11-28 ~ rapport ~ maths ~ IP_NT_GN-notes.pdf
Il existe des relations étroites entre la géométrie des nombres et la programmation en nombres entiers. Par exemple, un théorème de Minkowski sur l’existence de points de maillage dans un corps convexe permet d’établir une borne inférieure sur la longueur du plus court vecteur sur ce maillage. Et une connaissance des plus courts vecteurs dans un maillage peut être utilisée pour démontrer que l’algorithme de Lenstra peut résoudre les programmes entiers en temps polynomial si la dimension est fixe. (En anglais seulement.)
Ces notes on été rédigées pour un séminaire de trois heures faisant partie d’un cours sur la programmation en nombres entiers donné à McGill par Bruce Shepherd.
2007-08-20 ~ rapport ~ maths ~ cobordisme2007.pdf
Pontryagin a démontré un résultat fort intéressant concernant les applications \(f\) d’une \(m\)-variété \(M\) vers la sphère \(S^p\) : il existe une bijection entre les classes de cobordisme des sous-variétés \(f^{-1}(y)\) de \(M\) (\(y\) étant une valeur régulière de \(f\)) et les classes d’homotopies des applications \(f\). J’ai généralisé ce résultat à des variétés singulières (i.e. : qui ont des voisinages ressemblant à plusieurs copies des réels).
Rapport de stage pour un projet réalisé à l’Université de Montréal sous la supervision d’Octav Cornea.
2006-08-29 ~ rapport ~ physique ~ ising2006.pdf
Le modèle d’Ising tente de décrire le comportement des matériaux magnétiques (ferro- ou anti-ferro-). C’est un modèle sur réseau assez simple qui est beaucoup utilisé en physique statistique. Il semble que la limite du modèle sur réseau quand la maille (i.e. : la distance entre deux sites voisins) tend vers zéro soit le modèle prédit par la théorie des champs conformes. Malheureusement cette limite est très difficile à trouver théoriquement et à ce jour personne n’y est arrivé.
Ce document est un rapport de stage d’été réalisé à l’Université de Montréal sous la supervision de Yvan Saint-Aubin. L’approche qui a été prise dans ce stage était de faire des simulations numériques du modèle sur réseau et de voir si les mesures prises lors de ces simulations concordaient avec les résultats de la théorie des champs conformes. L’utilisation de réseaux aléatoires peut servir à faire des simulations sur des surfaces courbes comme le tore ou la sphère.
Le code de simulation a été retravaillé et développé davantage. Une version récente est disponible sur bitbucket.
Price, R.H. & Romano, J.D., 2012. In an expanding universe, what doesn’t expand? American Journal of Physics, 80(5), p.376. Available at: http://link.aip.org/link/AJPIAS/v80/i5/p376/s1&Agg=doi. ↩